高校数学Ⅱの、三角関数の加法定理とその周辺の話題の続きです。オリジナルの加法定理は記憶すべきですが、２倍角の公式や半角の公式は暗記しないで“現場”でササッと導出するのがいいとお勧めしました。今日はそれらよりももっと高校生に評判の悪い「サイン・コサインの合成」について。これこそ、公式と思って憶えようとすると失敗する可能性が大きいのです。

　　a sin θ ＋ b cos θ ＝ r sin ( θ ＋ α )
　　ただし　r ＝ √（ a² ＋ b² ）、　α は cos α ＝ a／r 、sin α ＝ b／r  を満たす角

間違うとしたら、たぶん a と b を取り違えるケースが後を絶たないのでしょう。私も、これはすぐに間違えそうになるので、憶えないことにしています。といいますか、「加法定理を利用して変形するのだ」ということだけ記憶しています。

では、まず上の「公式」を導いてみましょう。

最初に、問題によっては注意力を問うためか（意地悪なだけか？）サインから書いてあるとは限らないので、必要なら a sin θ ＋ b cos θ の形に整えます。次に、x 軸と y 軸、原点Ｏを書き、座標が ( a 、b ) である点Ｐをとります。なぜそうするかというと、そういうアイディアだから。言い換えれば、あとで便利だからです。図をここに出せなくて申し訳ないですが、この変形をするときは、必ず今のこの図を書く習慣をつけましょう。図なしでやっても変形の意味がわかりません。わからずにやると、間違えます。

さて、点Ｐから x 軸に垂線を下ろすと直角三角形ができます。この斜辺ＯＰの長さを r 、x 軸の正の向きとＯＰとのなす角を α とします。すると、 r ＝ √（ a² ＋ b² ）、 sin α ＝ b ／ r 、 cos α ＝ a ／ r  が得られます。もちろん、たとえば a ＝ 1 、 b ＝ √3 であればモンダイの角は60°なのですから、α など使う必要はありません。これも図をきれいに描いていればすぐにわかります。

では変形しましょう。ポイントは r でくくるというところ。

　　a sin θ ＋ b cos θ
　　　　　＝ r ・ a／r sin θ ＋ r ・ b／r cos θ
　　　　　＝ r ( sin θ ・ a／r ＋ cos θ ・ b／r )
　　　　　＝ r ( sin θ cos α ＋ cos θ sin α )　　
　　　　　＝ r sin ( θ ＋ α )　　　　　　　　　　　　　【 加法定理より 】

以上です。この変形を、問題を解くときにもいちいち実行してください。ではちょっと例題。

　　√3 sin θ ＋ cos θ　　　　【 a ＝ √3 、 b ＝ 1 、 r ＝ 2 、 α ＝ 30°】
　　　　　＝ 2 ・ √3／2 sin θ ＋ 2 ・ 1／2 cos θ
　　　　　＝ 2 ( sin θ ・  √3／2 ＋ cos θ ・ 1／2 )
　　　　　＝ 2 ( sin θ cos 30°＋ cos θ sin 30°)
　　　　　＝ 2 sin ( θ ＋ 30°)

もうひとつ。今度は入試問題です。文字は θ とは限らず、角 α も有名な角とは限らない。

　　「 0°≦ x ≦ 90°のとき、2 sin x ＋ cos x  の最大値と最小値を求めよ 」

　　a ＝ 2 、 b ＝ 1 、 r ＝ √5 、 cos α ＝ 2／√5 、 sin α ＝ 1／√5 です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ こういうときに α をつかいます ）
　　2 sin x ＋ cos x
　　　　　＝ √5 （ sin x ・ 2／√5 ＋ cos x ・ 1／√5 ）
　　　　　＝ √5 （ sin x cos α ＋ cos x sin α ）
　　　　　＝ √5 sin ( x ＋ α )

　　最大値と最小値を知るために、α の値はわからなくても構いません。
　　図を描くと 0°＜ α ＜ 45°であることがわかり、　
　　0°≦ x ≦ 90°、　α ≦ x ＋ α ≦ 90°＋α から、

　　x＋α ＝ 90°のとき sin ( x ＋ α ) は最大となり、最大値は
　　　　　　 √5 sin 90°＝ √5 ・ 1 ＝ √5 　　　　　　　[ 答 ]
　　x＋α ＝ α ( x ＝ 0°) のとき sin ( x ＋ α ) は最小となり、最小値は
　　　　　　2 sin 0°＋ cos 0°＝ 2 ・ 0 ＋ 1 ＝ 1　　　[ 答 ]